Krok 1. Układ współrzędnych.
Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(2\), i wprowadźmy współrzędne:
\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\)
\(E=(0,0,2)\), \(F=(2,0,2)\), \(G=(2,2,2)\), \(H=(0,2,2)\)
Punkt \(K\) jest środkiem krawędzi \(BF\), więc \(K=(2,0,1)\).
Krok 2. Równanie płaszczyzny \(ACK\).
\(\vec{AC}=[2,2,0]\), \(\;\vec{AK}=[2,0,1]\)
Wektor normalny otrzymujemy z iloczynu wektorowego:
\(\vec{n}=\vec{AC}\times\vec{AK}=[2\cdot 1-0\cdot 0,\;0\cdot 2-2\cdot 1,\;2\cdot 0-2\cdot 2]=[2,-2,-4]\)
Płaszczyzna przechodzi przez \(A=(0,0,0)\):
\(2x-2y-4z=0\), czyli \(x-y-2z=0\)
Krok 3. Punkt przecięcia z przekątną \(BH\).
Parametryzujemy odcinek \(BH\): \(B=(2,0,0)\), \(H=(0,2,2)\):
\(P=(2-2t,\;2t,\;2t)\), gdzie \(t\in\langle 0,1\rangle\)
Podstawiamy do równania płaszczyzny:
\((2-2t)-2t-4t=0\)
\(2-8t=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}\)
Krok 4. Wniosek.
Parametr \(t=\frac{1}{4}\) oznacza, że \(|BP|=\frac{1}{4}|BH|\), a więc \(|HP|=\frac{3}{4}|BH|\).
\(\frac{|BP|}{|HP|}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\)
czyli \(|BP|:|HP|=1:3\). \(\blacksquare\)
