Krok 1. Podniesienie do kwadratu.
Obie strony nierówności są dodatnie (jako sumy i iloczyny pierwiastków z liczb dodatnich), więc możemy je podnieść do kwadratu — otrzymamy nierówność równoważną:
\((a+b)(c+d)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)
\(ac+ad+bc+bd\ge ac+2\sqrt{ac}\cdot\sqrt{bd}+bd\)
Krok 2. Uproszczenie.
\(ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}\)
Zauważmy, że \(\sqrt{abcd}=\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\), więc nierówność przyjmuje postać:
\(ad+bc-2\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\ge 0\)
Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.
\(\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge 0\)
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\), a ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, dana nierówność również jest prawdziwa.
Uwaga: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(ad=bc\). \(\blacksquare\)