a) Wyprowadzenie wzoru.
Niech \(O\) będzie środkiem okręgu opisanego, a \(D\) — środkiem podstawy \(AB\). Wtedy \(|OD|=x\), a odcinek \(OD\) jest prostopadły do \(AB\).
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(AOD\) (gdzie \(|OA|=R=1\)):
\(|AD|=\sqrt{1-x^2}\), czyli \(|AB|=2\sqrt{1-x^2}\)
Trójkąt jest ostrokątny, więc środek okręgu leży wewnątrz niego, a wierzchołek \(C\) leży na przedłużeniu \(DO\) po przeciwnej stronie niż \(AB\). Wysokość opuszczona z \(C\) na \(AB\) jest równa:
\(h=|DO|+|OC|=x+1\)
Zatem:
\(P(x)=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\cdot(x+1)=(x+1)\sqrt{1-x^2}\)
co należało wykazać. \(\blacksquare\)
b) Dziedzina.
Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na cięciwie \(AB\), a odpowiadający mu kąt środkowy \(AOB\) spełnia \(\cos\frac{|\angle AOB|}{2}=x\). Stąd \(|\angle ACB|=\frac{|\angle AOB|}{2}=\arccos x\).
Trójkąt jest ostrokątny, gdy \(|\angle ACB|\lt 90^\circ\), czyli \(\arccos x\lt 90^\circ\), a więc \(x\gt 0\). Ponadto musi być \(x\lt 1\), aby podstawa miała dodatnią długość (dla \(x\ge 1\) trójkąt nie istnieje).
Kąty przy podstawie mają miarę \(\frac{180^\circ-\arccos x}{2}\lt 90^\circ\), co jest spełnione dla każdego \(x\in(0,1)\).
Dziedzina: \(x\in(0,1)\)
c) Największe pole.
Ponieważ \(P(x)\gt 0\) w dziedzinie, wystarczy zbadać funkcję \(f(x)=P^2(x)\):
\(f(x)=(x+1)^2\left(1-x^2\right)=(x+1)^2(1-x)(1+x)=(x+1)^3(1-x)\)
\(f'(x)=3(x+1)^2(1-x)-(x+1)^3=(x+1)^2\left[3(1-x)-(x+1)\right]=(x+1)^2(2-4x)\)
Dla \(x\in(0,1)\) mamy \((x+1)^2\gt 0\), więc o znaku decyduje czynnik \(2-4x\):
\(f'(x)\gt 0\) dla \(x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\), \(\;f'(x)\lt 0\) dla \(x\in\left(\frac{1}{2},1\right)\)
Zatem \(f\), a więc i \(P\), osiąga wartość największą dla \(x=\frac{1}{2}\).
\(P\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}+1\right)\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Uwaga: dla \(x=\frac{1}{2}\) otrzymujemy \(|AB|=\sqrt{3}\) oraz \(h=\frac{3}{2}\) — jest to trójkąt równoboczny.
Odpowiedź: b) \(x\in(0,1)\); c) \(x=\frac{1}{2}\), a największe pole wynosi \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\).