Krok 1. Założenia.
\(2x+1\neq 0\) i \(2x+3\neq 0\), czyli \(x\neq-\frac{1}{2}\) i \(x\neq-\frac{3}{2}\).
Krok 2. Przeniesienie na jedną stronę.
\(\frac{3x+1}{2x+1}-\frac{3x+4}{2x+3}\le 0\)
\(\frac{(3x+1)(2x+3)-(3x+4)(2x+1)}{(2x+1)(2x+3)}\le 0\)
Krok 3. Uproszczenie licznika.
\((3x+1)(2x+3)=6x^2+11x+3\)
\((3x+4)(2x+1)=6x^2+11x+4\)
Różnica: \(6x^2+11x+3-\left(6x^2+11x+4\right)=-1\)
Nierówność przyjmuje postać:
\(\frac{-1}{(2x+1)(2x+3)}\le 0\)
Krok 4. Rozwiązanie.
Licznik jest ujemny, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni:
\((2x+1)(2x+3)\gt 0\)
Miejsca zerowe: \(x=-\frac{1}{2}\) oraz \(x=-\frac{3}{2}\); współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc:
\(x\lt-\frac{3}{2}\) lub \(x\gt-\frac{1}{2}\)
Odpowiedź: \(x\in\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},+\infty\right)\)