Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.
\(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)\gt 0\)
\(x^4+y^4-x^3y-xy^3\gt 0\)
Krok 2. Rozkład na czynniki.
Grupujemy wyrazy:
\(x^4-x^3y-xy^3+y^4=x^3(x-y)-y^3(x-y)=(x-y)\left(x^3-y^3\right)\)
Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów:
\((x-y)\left(x^3-y^3\right)=(x-y)(x-y)\left(x^2+xy+y^2\right)=(x-y)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\)
Krok 3. Znaki czynników.
Ponieważ \(x\neq y\), mamy \((x-y)^2\gt 0\).
Drugi czynnik przekształcamy:
\(x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\ge 0\)
Suma ta jest równa zeru tylko wtedy, gdy \(y=0\) i \(x=0\), a więc gdy \(x=y\) — co jest wykluczone. Zatem \(x^2+xy+y^2\gt 0\).
Krok 4. Wniosek.
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, więc
\((x-y)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\gt 0\)
czyli \(x^4+y^4\gt xy\left(x^2+y^2\right)\). \(\blacksquare\)