a) Wzór funkcji \(V\) i jej dziedzina.
Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy. Punkt \(O\) jest środkiem kwadratu \(ABCD\), więc jego odległość od wierzchołka podstawy wynosi:
\(|OA|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Odcinek \(OE\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(|OA|\) i \(h\):
\(d^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+h^2=\frac{a^2}{2}+h^2\)
Stąd:
\(a^2=2\left(d^2-h^2\right)\)
Objętość graniastosłupa:
\(V=a^2\cdot h=2\left(d^2-h^2\right)h\)
\(V(h)=2d^2h-2h^3\)
Dziedzina: musi zachodzić \(h\gt 0\) oraz \(a^2\gt 0\), czyli \(d^2-h^2\gt 0\), co przy \(h\gt 0\) daje \(h\lt d\):
\(h\in(0,d)\)
b) Wysokość dająca największą objętość.
Obliczamy pochodną:
\(V'(h)=2d^2-6h^2=2\left(d^2-3h^2\right)\)
\(V'(h)=0\iff h^2=\frac{d^2}{3}\iff h=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}\) (bierzemy wartość dodatnią)
Badamy znak pochodnej w dziedzinie:
dla \(h\in\left(0,\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)\): \(d^2-3h^2\gt 0\), więc \(V'(h)\gt 0\) — funkcja rosnąca,
dla \(h\in\left(\frac{d\sqrt{3}}{3},d\right)\): \(V'(h)\lt 0\) — funkcja malejąca.
Zatem funkcja \(V\) osiąga wartość największą dla \(h=\frac{d\sqrt{3}}{3}\).
Dla zainteresowanych: największa objętość wynosi wtedy \(V\left(\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{9}d^3\).
Odpowiedź: a) \(V(h)=2d^2h-2h^3\) dla \(h\in(0,d)\); b) \(h=\frac{d\sqrt{3}}{3}\)
