Szukamy minimum funkcji $V(h) = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25h^3}{h^2 - 25}$ dla $h \in (5, +\infty)$.
-
Krok 1: Obliczenie pochodnej $V'(h)$
Wyznaczamy pochodną funkcji, korzystając z reguły ilorazu. Niech $f(h) = 25h^3$ oraz $g(h) = h^2 - 25$, wtedy:
$$f'(h) = 75h^2, \qquad g'(h) = 2h$$
Pochodna ilorazu:
$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{75h^2(h^2-25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2-25)^2}$$
Upraszczamy licznik:
$$75h^2(h^2-25) - 50h^4 = 75h^4 - 1875h^2 - 50h^4 = 25h^4 - 1875h^2 = 25h^2(h^2 - 75)$$
Zatem:
$$V'(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^2(h^2 - 75)}{(h^2-25)^2}$$
-
Krok 2: Wyznaczenie punktów krytycznych
Przyrównujemy $V'(h) = 0$. Ponieważ $h \in (5, +\infty)$, mamy $h > 0$, więc $25h^2 > 0$ oraz $(h^2-25)^2 > 0$. Warunek zerowania się pochodnej redukuje się do:
$$h^2 - 75 = 0 \implies h^2 = 75 \implies h = 5\sqrt{3}$$
(odrzucamy $h = -5\sqrt{3}$, gdyż $h > 5$). Sprawdzamy: $5\sqrt{3} \approx 8{,}66 > 5$ ✓
-
Krok 3: Zbadanie znaku pochodnej (analiza monotoniczności)
Ponieważ $\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25h^2}{(h^2-25)^2} > 0$ dla każdego $h \in (5,+\infty)$, znak $V'(h)$ zależy wyłącznie od czynnika $(h^2 - 75)$:
- Dla $h \in (5,\, 5\sqrt{3})$: $h^2 \lt 75$, więc $h^2 - 75 \lt 0$, zatem $V'(h) \lt 0$ — funkcja maleje.
- Dla $h \in (5\sqrt{3},\, +\infty)$: $h^2 > 75$, więc $h^2 - 75 > 0$, zatem $V'(h) > 0$ — funkcja rośnie.
Funkcja $V$ maleje przed punktem $h = 5\sqrt{3}$ i rośnie po nim, zatem $h = 5\sqrt{3}$ jest punktem minimum lokalnego (i globalnego na $(5,+\infty)$).
-
Krok 4: Obliczenie najmniejszej objętości
Podstawiamy $h = 5\sqrt{3}$ do wzoru na $V(h)$:
$$h^2 = 75, \qquad h^3 = (5\sqrt{3})^3 = 125 \cdot 3\sqrt{3} = 375\sqrt{3}$$
$$h^2 - 25 = 75 - 25 = 50$$
$$V(5\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 \cdot 375\sqrt{3}}{50} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{9375\sqrt{3}}{50} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{375\sqrt{3}}{2}$$
$$V(5\sqrt{3}) = \frac{375\sqrt{3}\,\pi}{6} = \frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}$$
Wynik końcowy:
Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości
$$\boxed{h = 5\sqrt{3}}$$
a ta najmniejsza objętość wynosi
$$\boxed{V_{\min} = \frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}}$$