Zadanie 7 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Pierwszy wyraz i iloraz.

\(a_1=2x\)

\(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\frac{6x}{x-1}}{2x}=-\frac{3}{x-1}\)

Krok 2. Warunek istnienia sumy.

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy \(|q|\lt 1\):

\(\left|\frac{3}{x-1}\right|\lt 1\)

\(|x-1|\gt 3\)

\(x-1\lt -3\) lub \(x-1\gt 3\)

\(x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\)

Krok 3. Równanie na sumę.

\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac{3}{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x-1+3}=\frac{2x(x-1)}{x+2}\)

\(\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}\)

\(4x(x-1)=15(x+2)\)

\(4x^2-4x-15x-30=0\)

\(4x^2-19x-30=0\)

\(\Delta=361+480=841\), \(\;\sqrt{\Delta}=29\)

\(x_1=\frac{19-29}{8}=-\frac{5}{4}\), \(\;x_2=\frac{19+29}{8}=6\)

Krok 4. Sprawdzenie warunku zbieżności.

\(x=-\frac{5}{4}\notin(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) — odrzucamy.

\(x=6\in(4,+\infty)\) ✓

Sprawdzenie: \(q=-\frac{3}{5}\), \(a_1=12\), \(S=\frac{12}{1+\frac{3}{5}}=\frac{12}{\frac{8}{5}}=\frac{15}{2}\) ✓

Odpowiedź: \(x=6\)