Sposób I — sprowadzenie do wspólnego mianownika.
Niech \(a\gt 0\). Nierówność jest równoważna kolejno:
\(a^2+\frac{16}{a}-12\ge 0\)
\(\frac{a^3-12a+16}{a}\ge 0\)
Ponieważ \(a\gt 0\), wystarczy wykazać, że \(a^3-12a+16\ge 0\).
Zauważamy, że \(a=2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu (\(8-24+16=0\)). Po podzieleniu przez \((a-2)\):
\(a^3-12a+16=(a-2)\left(a^2+2a-8\right)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^2(a+4)\)
Dla \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^2\ge 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn jest nieujemny. Zatem dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(a\).
Sposób II — nierówność między średnimi.
Zapisujemy lewą stronę jako sumę trzech dodatnich składników:
\(a^2+\frac{16}{a}=a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\)
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\frac{a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^2\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}=\sqrt[3]{64}=4\)
\(a^2+\frac{16}{a}\ge 12\)
Równość zachodzi dla \(a=2\). \(\blacksquare\)