Zadanie 13.2 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Pochodna funkcji \(V\).

\(V'(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(12R-3R^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}R(4-R)\)

Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej.

\(\frac{3\sqrt{3}}{4}R(4-R)=0\Rightarrow R=0\) lub \(R=4\)

Do przedziału \((0,6)\) należy tylko \(R=4\).

Krok 3. Badanie znaku pochodnej.

Dla \(R\in(0,4)\): \(R\gt 0\) i \(4-R\gt 0\), więc \(V'(R)\gt 0\) — funkcja rosnąca.

Dla \(R\in(4,6)\): \(4-R\lt 0\), więc \(V'(R)\lt 0\) — funkcja malejąca.

Zatem funkcja \(V\) osiąga w punkcie \(R=4\) maksimum, będące jej wartością największą w przedziale \((0,6)\).

Krok 4. Największa objętość.

\(V(4)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(6\cdot 16-64\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}(96-64)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 32=8\sqrt{3}\)

Odpowiedź: objętość jest największa dla \(R=4\) i wynosi \(V_{\max}=8\sqrt{3}\).