Zadanie 13.1 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Krawędź podstawy w zależności od \(R\).

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wynosi \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), skąd:

\(a=R\sqrt{3}\)

Krok 2. Pole podstawy.

\(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(R\sqrt{3}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\)

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

Z warunku \(H+R=6\) otrzymujemy:

\(H=6-R\)

Krok 4. Objętość.

\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\cdot(6-R)\)

\(V=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\cdot(6-R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(6R^2-R^3\right)\)

co należało wykazać. \(\blacksquare\)

Uwaga: z warunków \(R\gt 0\) oraz \(H=6-R\gt 0\) wynika \(R\in(0,6)\).