Zadanie 1 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie współczynników \(a\) i \(b\).

Gdy \(t\to\infty\), to \(2^{-0,05t}\to 0\), więc masa dąży do \(b\). Z warunku zadania:

\(b=\frac{1}{9}m_0\)

Dla \(t=0\) mamy \(2^0=1\), zatem:

\(m(0)=a+b=m_0\)

\(a=m_0-\frac{1}{9}m_0=\frac{8}{9}m_0\)

Ostatecznie:

\(m(t)=\frac{8}{9}m_0\cdot 2^{-0,05t}+\frac{1}{9}m_0\)

Krok 2. Warunek przereagowania \(87{,}5\%\).

Jeśli przereagowało \(87{,}5\%\) masy początkowej, to pozostało \(12{,}5\%=\frac{1}{8}\) masy początkowej:

\(\frac{8}{9}m_0\cdot 2^{-0,05t}+\frac{1}{9}m_0=\frac{1}{8}m_0\)

Dzielimy obustronnie przez \(m_0\gt 0\):

\(\frac{8}{9}\cdot 2^{-0,05t}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{9-8}{72}=\frac{1}{72}\)

\(2^{-0,05t}=\frac{1}{72}\cdot\frac{9}{8}=\frac{9}{576}=\frac{1}{64}=2^{-6}\)

Krok 3. Rozwiązanie równania wykładniczego.

\(-0{,}05t=-6\)

\(t=120\)

Odpowiedź: po \(120\) sekundach.