Zadanie 26 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2025 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Krawędź podstawy.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), którego wysokość wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

\(a=4\)

Krok 2. Wysokość graniastosłupa.

Ściana \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(|AB|=a=4\) i \(|BE|=H\). Przekątna \(AE\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt \(60^\circ\), a trójkąt \(ABE\) jest prostokątny (kąt przy wierzchołku \(B\) jest prosty):

\(\operatorname{tg}60^\circ=\frac{H}{a}\)

\(H=4\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

Krok 3. Objętość.

Pole podstawy: \(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\)

\(V=P_p\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=16\cdot 3=48\)

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej.

\(P_c=2P_p+P_b=2\cdot 4\sqrt{3}+3\cdot a\cdot H\)

\(P_c=8\sqrt{3}+3\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=56\sqrt{3}\)

Odpowiedź: \(V=48\), \(P_c=56\sqrt{3}\)