Zadanie 24 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Współrzędne punktu \(P\).

Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), więc ma współrzędne \(P=(p,0)\). Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców, zatem:

\(|AP|=|BP|\)

\((p-2)^2+(0-8)^2=(p-10)^2+(0-2)^2\)

\(p^2-4p+4+64=p^2-20p+100+4\)

\(-4p+68=-20p+104\)

\(16p=36\)

\(p=\frac{9}{4}\)

Zatem \(P=\left(\frac{9}{4},\,0\right)\).

Krok 2. Długość odcinka \(AP\).

\(|AP|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+64}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1024}{16}}=\sqrt{\frac{1025}{16}}=\frac{\sqrt{1025}}{4}\)

\(\sqrt{1025}=\sqrt{25\cdot 41}=5\sqrt{41}\)

\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)

Odpowiedź: \(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\) oraz \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)