Zadanie 9 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Poprowadźmy przekątną \(BD\), dzieląc czworokąt na trójkąty \(ABD\) i \(BCD\).

1) Trójkąt \(ABD\). Jest prostokątny w \(A\) i równoramienny (\(|AB|=|AD|=3\)), więc kąty przy \(B\) i \(D\) mają po \(45^\circ\), a

\(|BD|=3\sqrt2\), \(\ P_{ABD}=\tfrac12\cdot3\cdot3=\tfrac92\ \text{cm}^2\).

2) Trójkąt \(BCD\). Przekątna odjęła po \(45^\circ\) od kątów przy \(B\) i \(D\), więc

\(\sphericalangle DBC=75^\circ-45^\circ=30^\circ\), \(\ \sphericalangle BDC=135^\circ-45^\circ=90^\circ\), \(\ \sphericalangle BCD=60^\circ\).

(Suma: \(30^\circ+90^\circ+60^\circ=180^\circ\) — zgadza się.)

Trójkąt jest prostokątny w \(D\), a \(BD\) jest przyprostokątną:

\(|DC|=|BD|\cdot\mathrm{tg}\,30^\circ=3\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\sqrt6\),

\(P_{BCD}=\tfrac12\cdot|BD|\cdot|DC|=\tfrac12\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt6=\tfrac12\cdot3\sqrt{12}=3\sqrt3\ \text{cm}^2\).

3) Pole czworokąta.

\(P=\tfrac92+3\sqrt3\approx4{,}5+5{,}196=9{,}70\ \text{cm}^2\).