Zadanie 8 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Przestrzeń zdarzeń. Wybieramy 5 banknotów spośród 14:

\(|\Omega|=\dbinom{14}{5}=2002\).

Zdarzenia sprzyjające. Szukamy liczb \(a,b,c\) (liczby banknotów 100 zł, 50 zł i 20 zł) spełniających

\(a+b+c=5\) oraz \(100a+50b+20c=130\), przy czym \(a\le2\), \(b\le2\), \(c\le10\).

• \(a\ge2\) daje co najmniej 200 zł — za dużo;

• \(a=1\): \(50b+20c=30\) przy \(b+c=4\) — brak rozwiązań całkowitych;

• \(a=0\): \(50b+20c=130\) przy \(b+c=5\), czyli \(50b+20(5-b)=130\), skąd \(30b=30\), a więc \(b=1\), \(c=4\).

Jedyna możliwość: jeden banknot 50 zł i cztery banknoty 20 zł.

\(|A|=\dbinom{2}{1}\cdot\dbinom{10}{4}=2\cdot210=420\).

Prawdopodobieństwo.

\(P(A)=\dfrac{420}{2002}=\dfrac{30}{143}\approx0{,}21\).