Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(C\) w symetrii osiowej względem danej prostej.

1) Prosta \(BC\). Jest prostopadła do symetralnej, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\dfrac12\). Przechodzi przez \(C=(2,3)\):

\(y-3=-\tfrac12(x-2)\), czyli \(y=-\tfrac12x+4\).

2) Środek odcinka \(BC\). To punkt przecięcia obu prostych:

\(2x-8=-\tfrac12x+4\),

\(\tfrac52x=12\), skąd \(x=\tfrac{24}{5}=4{,}8\) oraz \(y=2\cdot4{,}8-8=1{,}6\).

Zatem \(S=(4{,}8;\ 1{,}6)\).

3) Współrzędne \(B\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BC\), więc

\(x_B=2x_S-x_C=9{,}6-2=7{,}6\), \(\ y_B=2y_S-y_C=3{,}2-3=0{,}2\).

Odpowiedź: \(B=(7{,}6;\ 0{,}2)=\left(\dfrac{38}{5},\dfrac15\right)\).

Sprawdzenie: \(|CS|=|SB|=\sqrt{2{,}8^2+1{,}4^2}=\sqrt{9{,}8}\). ✅