Zadanie 1 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

a) Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(2\sqrt3-1\):

mianownik: \((1+2\sqrt3)(2\sqrt3-1)=2\sqrt3-1+12-2\sqrt3=11\),

licznik: \((3\sqrt3-4)(2\sqrt3-1)=18-3\sqrt3-8\sqrt3+4=22-11\sqrt3\).

Stąd

\(a=\dfrac{22-11\sqrt3}{11}=2-\sqrt3\), czyli \(x=2\), \(y=-1\).

b) Zapisujemy wszystko jako potęgi liczby 3:

\(\sqrt{27}=3^{\frac32}\), \(\ \left(\tfrac19\right)^3=\left(3^{-2}\right)^3=3^{-6}\), \(\ \dfrac{1}{3^{-5}}=3^{5}\).

Zatem

\(b=3^{\frac32}\cdot3^{-6}\cdot3^{5}=3^{\frac32-6+5}=3^{\frac12}=3^{0{,}5}\).

c) \(a+b=2-\sqrt3+\sqrt3=2\).

Z warunku \(0{,}8c=2\) otrzymujemy \(c=\dfrac{2}{0{,}8}=2{,}5\).