Zadanie 15 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2005 – arkusz z rozwiązaniami

1) Zapisanie wektora \(\overrightarrow{MN}\) na dwa sposoby.

Idąc „dolną drogą” \(M\to A\to B\to N\):

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\)   (1)

Idąc „górną drogą” \(M\to D\to C\to N\):

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\)   (2)

2) Dodanie równości stronami.

\(2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right)\).

Punkt \(M\) jest środkiem \(AD\), więc \(\overrightarrow{MD}=-\overrightarrow{MA}\); punkt \(N\) jest środkiem \(BC\), więc \(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{BN}\). Stąd oba nawiasy są wektorami zerowymi:

\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\),

\(\overrightarrow{MN}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\).

3) Interpretacja. Wektory \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{DC}\) są równoległe i zgodnie skierowane (to podstawy trapezu), więc odcinek \(MN\) — linia środkowa trapezu — jest równoległy do obu podstaw, a jego długość jest równa połowie sumy długości podstaw:

\(|MN|=\dfrac{|AB|+|DC|}{2}\).