Zadanie 18 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

a) Punkt \(C\) leży na osi \(OX\), więc \(C=(c,0)\). Kąt przy \(C\) jest prosty, zatem wektory \(\overrightarrow{CA}\) i \(\overrightarrow{CB}\) są prostopadłe:

\(\overrightarrow{CA}=(7-c,\ 8)\), \(\ \overrightarrow{CB}=(-1-c,\ 2)\),

\(\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}=(7-c)(-1-c)+16=0\).

\(-7-7c+c+c^2+16=0\), czyli \(c^2-6c+9=0\), a więc \((c-3)^2=0\) i \(c=3\).

Zatem \(C=(3,0)\).

b) W trójkącie prostokątnym środkiem okręgu opisanego jest środek przeciwprostokątnej \(AB\):

\(S=\left(\dfrac{7-1}{2},\dfrac{8+2}{2}\right)=(3,5)\), \(\ r=\dfrac{|AB|}{2}=\dfrac{\sqrt{8^2+6^2}}{2}=\dfrac{10}{2}=5\).

Jednokładność o środku \(P=(1,0)\) i skali \(k=-2\) przeprowadza środek na

\(S'=P+k(S-P)=(1,0)-2\cdot(2,5)=(1-4,\ 0-10)=(-3,-10)\),

a promień zmienia się w \(r'=|k|\cdot r=2\cdot5=10\).

Równanie obrazu:

\((x+3)^2+(y+10)^2=100\).