Zadanie 18 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Maj — arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(a\) krawędź podstawy, a przez \(H\) krawędź boczną (\(a,H>0\)).

Warunek objętości.

\(V=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H=2\), skąd \(H=\dfrac{8}{a^2\sqrt3}\).

Pole powierzchni całkowitej.

\(S=2\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}+3aH=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+3a\cdot\dfrac{8}{a^2\sqrt3}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+\dfrac{24}{a\sqrt3}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}+\dfrac{8\sqrt3}{a}\).

Minimalizacja. Liczymy pochodną dla \(a>0\):

\(S'(a)=a\sqrt3-\dfrac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\cdot\dfrac{a^3-8}{a^2}\).

\(S'(a)=0\) dla \(a^3=8\), czyli \(a=2\); ponadto \(S'(a)<0\) dla \(a<2\) i \(S'(a)>0\) dla \(a>2\), więc w \(a=2\) funkcja osiąga minimum.

Wtedy

\(H=\dfrac{8}{4\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}15\).

Odpowiedź: krawędź podstawy \(a=2\) m, krawędź boczna \(H=\dfrac{2\sqrt3}{3}\) m.