Zadanie 12 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), więc z twierdzenia Pitagorasa

\(|AB|=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\).

Wysokość z wierzchołka \(C\). Niech \(H\) będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z \(C\) na \(AB\). Z równości pól:

\(|CH|=\dfrac{9\cdot12}{15}=7{,}2\).

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BCH\):

\(|BH|=\sqrt{9^2-7{,}2^2}=\sqrt{81-51{,}84}=\sqrt{29{,}16}=5{,}4\).

Wykorzystanie równoramienności. Trójkąt \(BCD\) jest równoramienny (\(|CB|=|CD|=9\)), a \(CH\) jest w nim wysokością opuszczoną na podstawę \(BD\), więc \(H\) jest środkiem odcinka \(BD\):

\(|BD|=2\cdot|BH|=10{,}8\).

Stąd

\(|AD|=|AB|-|BD|=15-10{,}8=4{,}2\).