Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

Niech \(P=(x,y)\) będzie dowolnym punktem paraboli, czyli \(y=\tfrac14x^2+1\).

Odległość od osi \(Ox\). Ponieważ \(y=\tfrac14x^2+1\ge1>0\), mamy

\(d(P,Ox)=|y|=\tfrac14x^2+1\).

Odległość od punktu \(F\).

\(|PF|^2=x^2+(y-2)^2=x^2+\left(\tfrac14x^2+1-2\right)^2=x^2+\left(\tfrac14x^2-1\right)^2\),

\(|PF|^2=x^2+\tfrac{1}{16}x^4-\tfrac12x^2+1=\tfrac{1}{16}x^4+\tfrac12x^2+1=\left(\tfrac14x^2+1\right)^2\).

Ponieważ \(\tfrac14x^2+1>0\), otrzymujemy

\(|PF|=\tfrac14x^2+1=d(P,Ox)\).

Zatem każdy punkt tej paraboli jest równoodległy od osi \(Ox\) i od punktu \(F\) (oś \(Ox\) jest kierownicą, a \(F\) ogniskiem tej paraboli). \(\blacksquare\)