Zadanie 2 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2011 – arkusz z rozwiązaniami

Z założenia \(a+b=2c\), więc \(c=\dfrac{a+b}{2}\). Wyznaczamy mianowniki:

\(a-c=a-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a-b}{2}\),    \(b-c=b-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b-a}{2}\).

Ponieważ \(a\neq b\), oba mianowniki są różne od zera (co zgadza się też z założeniami \(a\neq c\), \(b\neq c\)).

Podstawiamy:

\(\dfrac{a}{a-c}+\dfrac{b}{b-c}=\dfrac{2a}{a-b}+\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2a}{a-b}-\dfrac{2b}{a-b}=\dfrac{2(a-b)}{a-b}=2\),

co kończy dowód. \(\blacksquare\)