Zadanie 11 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2012 Czerwiec — arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(O\) spodek wysokości ostrosłupa. Odcinek łączący \(O\) ze spodkiem wysokości ściany bocznej jest prostopadły do krawędzi podstawy (twierdzenie o trzech prostych prostopadłych). Z twierdzenia Pitagorasa odległość \(O\) od każdego boku podstawy wynosi \(\sqrt{26^2-H^2}\), a więc jest taka sama dla wszystkich ścian. Zatem \(O\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\).

Pole podstawy. Wysokość opuszczona z \(C\) na \(AB\) dzieli \(AB\) na połowy, więc \(h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=\sqrt{1296}=36\), a stąd \(P_{ABC}=\tfrac12\cdot30\cdot36=540\).

Promień okręgu wpisanego. Połowa obwodu \(p=\dfrac{30+39+39}{2}=54\), więc \(r=\dfrac{P}{p}=\dfrac{540}{54}=10\).

Wysokość ostrosłupa. \(H=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24\).

Objętość. \(V=\tfrac13\cdot P_{ABC}\cdot H=\tfrac13\cdot540\cdot24=4320\).