Krok 1. Wykluczenie zera. Gdyby w zapisie wystąpiła cyfra $0$, iloczyn wszystkich cyfr byłby zerem. Zatem wszystkie osiem cyfr należy do zbioru $\{1,2,\ldots,9\}$.
Krok 2. Możliwe zestawy cyfr. Cyfry równe $1$ nie wpływają na iloczyn, więc pozostałe muszą mnożyć się do $12=2^{2}\cdot3$. Rozbicia liczby $12$ na czynniki będące cyframi (czyli $\le9$, każdy $\ge2$):
$$12=2\cdot6,\qquad 12=3\cdot4,\qquad 12=2\cdot2\cdot3.$$
Rozbicie jednoczynnikowe odpada, bo $12>9$.
Krok 3. Zliczanie ustawień.
Zestaw $\{2,6\}$ i sześć jedynek: wybieramy pozycję dla $2$ i dla $6$:
$$8\cdot7=56.$$
Zestaw $\{3,4\}$ i sześć jedynek: analogicznie
$$8\cdot7=56.$$
Zestaw $\{2,2,3\}$ i pięć jedynek: permutacje z powtórzeniami
$$\frac{8!}{2!\cdot1!\cdot5!}=\frac{40320}{240}=168.$$
Krok 4. Suma.
$$56+56+168=280.$$
Uwaga: nie trzeba osobno wykluczać zera na pierwszej pozycji, bo żadna z dopuszczalnych cyfr nie jest zerem.
Odpowiedź: $280$