Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$:
$$2\cos^{2}x-1+\cos x+1=0\ \Longrightarrow\ 2\cos^{2}x+\cos x=0.$$
Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika.
$$\cos x\left(2\cos x+1\right)=0.$$
Krok 3. Pierwszy czynnik: $\cos x=0$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$:
$$x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.$$
Krok 4. Drugi czynnik: $\cos x=-\frac12$. Cosinus przyjmuje wartość $-\frac12$ w II i III ćwiartce:
$$x=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{4\pi}{3}.$$
Sprawdzenie: dla $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}+1=-\frac12-\frac12+1=0$ ✓; dla $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos\pi+0+1=-1+1=0$ ✓
Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{3\pi}{2}\right\}$