Krok 1. Współrzędne wierzchołków. Niech $x$ będzie pierwszą współrzędną punktu $C$. Punkt $C$ leży na paraboli, więc
$$C=\left(x,\ 2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$
Trapez jest równoramienny i symetryczny względem osi $Oy$, zatem
$$D=\left(-x,\ 2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$
Krok 2. Dziedzina. Musi być $x>0$, wysokość trapezu dodatnia ($2-\frac{x^{2}}{2}>0$, czyli $x<2$) oraz $|DC|<|AB|$, czyli $2x<4$ — ten sam warunek. Zatem
$$x\in(0,\ 2).$$
Krok 3. Pole trapezu. Podstawy mają długości $|AB|=4$ oraz $|DC|=2x$, a wysokością jest rzędna punktu $C$:
$$P(x)=\frac{|AB|+|DC|}{2}\cdot h=\frac{4+2x}{2}\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)=(2+x)\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right).$$
Po wymnożeniu:
$$P(x)=-\frac{x^{3}}{2}-x^{2}+2x+4.$$
Krok 4. Poszukiwanie maksimum.
$$P^{\prime}(x)=-\frac{3x^{2}}{2}-2x+2.$$
$$P^{\prime}(x)=0\ \Big|\cdot(-2)\ \Longrightarrow\ 3x^{2}+4x-4=0.$$
$$\Delta=16+48=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\qquad x=\frac{-4\pm8}{6}.$$
$$x_1=\frac{2}{3},\qquad x_2=-2\ (\text{odrzucamy, bo }x>0).$$
Dla $x<\frac23$ pochodna jest dodatnia, dla $x>\frac23$ ujemna, więc w $x=\frac23$ funkcja osiąga maksimum.
Krok 5. Współrzędne punktu $C$ i największe pole.
$$y_C=2-\frac{1}{2}\left(\frac23\right)^{2}=2-\frac{2}{9}=\frac{16}{9}.$$
$$C=\left(\frac{2}{3},\ \frac{16}{9}\right).$$
$$P\left(\tfrac23\right)=\left(2+\tfrac23\right)\cdot\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\cdot\frac{16}{9}=\frac{128}{27}.$$
Odpowiedź: $P(x)=(2+x)\left(2-\frac{x^{2}}{2}\right)$ dla $x\in(0,2)$; największe pole $\frac{128}{27}$ dla $C=\left(\frac{2}{3},\frac{16}{9}\right)$
