Krok 1. Rozpoznanie ilorazu. Oznaczmy
$$q=\frac{1}{2x-371}.$$
Wtedy $a_n=q^{n}$, czyli ciąg jest geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1=q$ i ilorazie $q$.
Krok 2. Warunek dodatniości wyrazów. Wszystkie wyrazy mają być dodatnie, więc
$$q>0\ \Longleftrightarrow\ 2x-371>0\ \Longleftrightarrow\ x>185{,}5.$$
Krok 3. Warunek zbieżności szeregu. Szereg geometryczny jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy $|q|<1$. Ponieważ $q>0$, warunek upraszcza się do $q<1$:
$$\frac{1}{2x-371}<1.$$
Mianownik jest dodatni, więc możemy pomnożyć obie strony przez niego bez zmiany znaku:
$$1<2x-371\ \Longrightarrow\ 2x>372\ \Longrightarrow\ x>186.$$
Krok 4. Najmniejsza liczba całkowita.
$$x=187.$$
Sprawdzenie: dla $x=187$ mamy $2x-371=3$, czyli $q=\frac13\in(0,1)$ — szereg zbieżny ✓. Dla $x=186$ otrzymalibyśmy $q=1$ i szereg $1+1+1+\ldots$, który jest rozbieżny ✓
Odpowiedź: $x=187$