Krok 1. Stopień licznika. Wyrażenie $\left(pn^{2}+4n\right)^{3}$ po rozwinięciu jest wielomianem stopnia szóstego, a jego wyraz wiodący to
$$\left(pn^{2}\right)^{3}=p^{3}n^{6}.$$
Krok 2. Stopień mianownika. Mianownik $5n^{6}-4$ ma wyraz wiodący $5n^{6}$.
Krok 3. Granica. Stopnie są równe, więc granica to iloraz współczynników wiodących:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(pn^{2}+4n\right)^{3}}{5n^{6}-4}=\frac{p^{3}}{5}.$$
Krok 4. Równanie na $p$.
$$\frac{p^{3}}{5}=-\frac{8}{5}\ \Longrightarrow\ p^{3}=-8\ \Longrightarrow\ p=-2.$$
Uwaga: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest jednoznaczny, więc $p=-2$ to jedyne rozwiązanie.
Odpowiedź: D