Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta w postaci
$$\cos 2x=2\cos^{2}x-1.$$
Równanie przyjmuje postać
$$2\cos^{2}x-1+3\cos x=-2.$$
Krok 2. Równanie kwadratowe.
$$2\cos^{2}x+3\cos x+1=0.$$
Podstawmy $t=\cos x$, przy czym $t\in\langle-1,1\rangle$:
$$2t^{2}+3t+1=0,\qquad \Delta=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.$$
$$t_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-3-1}{4}=-1.$$
Obie wartości mieszczą się w przedziale $\langle-1,1\rangle$, więc żadnej nie odrzucamy.
Krok 3. Rozwiązanie $\cos x=-\frac12$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ cosinus przyjmuje wartość $-\frac12$ w II i III ćwiartce:
$$x=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{4\pi}{3}.$$
Krok 4. Rozwiązanie $\cos x=-1$.
$$x=\pi.$$
Sprawdzenie: dla $x=\pi$: $\cos 2\pi+3\cos\pi=1-3=-2$ ✓; dla $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3}+3\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12-\frac32=-2$ ✓
Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}\right\}$