Krok 1. Ile jest takich liczb. Każda liczba to permutacja pięciu różnych cyfr:
$$5!=120.$$
Krok 2. Kluczowa obserwacja o symetrii. Żadna cyfra nie jest wyróżniona, więc na każdej z pięciu pozycji każda z cyfr pojawia się tyle samo razy:
$$\frac{120}{5}=24\ \text{razy}.$$
Krok 3. Suma cyfr na jednej pozycji. Suma wszystkich cyfr wynosi
$$1+3+5+7+9=25,$$
więc suma cyfr stojących na ustalonej pozycji we wszystkich $120$ liczbach to
$$24\cdot 25=600.$$
Krok 4. Uwzględnienie wag pozycji. Pozycje mają wagi $10^{4},10^{3},10^{2},10^{1},10^{0}$, a wkład każdej z nich jest taki sam:
$$S=600\cdot\left(10^{4}+10^{3}+10^{2}+10+1\right)=600\cdot 11111.$$
Krok 5. Wynik.
$$S=6\,666\,600.$$
Odpowiedź: $6\,666\,600$