Zadanie 15 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2020 – arkusz z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia. Niech $a$ będzie szerokością ekranu (wymiar wzdłuż krótszych brzegów), a $b$ jego wysokością. Z warunku zadania

$$a\cdot b=60\ \Longrightarrow\ b=\frac{60}{a},\qquad a>0.$$

Krok 2. Wymiary całego smartfona. Z rysunku: po bokach dodajemy po $0{,}3$ cm, u góry i u dołu po $0{,}5$ cm:

$$\text{szerokość}=a+2\cdot0{,}3=a+0{,}6,\qquad \text{wysokość}=b+2\cdot0{,}5=b+1.$$

Krok 3. Funkcja pola.

$$P(a)=(a+0{,}6)\left(\frac{60}{a}+1\right)=60+a+\frac{36}{a}+0{,}6=a+\frac{36}{a}+60{,}6.$$

Krok 4. Minimum.

$$P^{\prime}(a)=1-\frac{36}{a^{2}}.$$

$$P^{\prime}(a)=0\ \Longleftrightarrow\ a^{2}=36\ \Longleftrightarrow\ a=6\quad(a>0).$$

Dla $a\lt 6$ pochodna jest ujemna, dla $a>6$ dodatnia, więc w $a=6$ funkcja osiąga minimum.

Krok 5. Wymiary i wynik.

$$b=\frac{60}{6}=10\ \mathrm{cm}.$$

Ekran ma wymiary $6\ \mathrm{cm}\times 10\ \mathrm{cm}$ — jest wyższy niż szerszy, co zgadza się z rysunkiem.

$$P(6)=6{,}6\cdot 11=72{,}6\ \mathrm{cm}^{2}.$$

Odpowiedź: ekran o wymiarach $6\ \mathrm{cm}\times10\ \mathrm{cm}$; najmniejsze pole ekranu wraz z obramowaniem wynosi $72{,}6\ \mathrm{cm}^{2}$.