Stosujemy uzupełnienie do kwadratu, dodając i odejmując $18x^{2}$:

$$x^{4}+81=x^{4}+18x^{2}+81-18x^{2}=\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}.$$

Zauważmy, że $18x^{2}=\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}$, więc możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów:

$$x^{4}+81=\left(x^{2}+9\right)^{2}-\left(3\sqrt{2}\,x\right)^{2}=\left(x^{2}+9-3\sqrt{2}\,x\right)\left(x^{2}+9+3\sqrt{2}\,x\right).$$

Zatem $W(x)$ jest podzielny przez $x^{2}-3\sqrt{2}\,x+9$.

Dlaczego nie pozostałe: $W(3)=81+81=162\neq0$, więc $x-3$ odpada; $x^{2}+9$ nie jest dzielnikiem, bo $\left(x^{2}+9\right)^{2}-18x^{2}$ nie dzieli się przez $x^{2}+9$; wariant D ma wyraz wolny $-9$, a w rozkładzie występuje $+9$.

Odpowiedź: C