Zadanie 21 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Marzec 2026 (CKE) — zadania z rozwiązaniami

Oznaczmy $\angle DAB=\alpha$. Ponieważ $AC$ jest dwusieczną, to $\angle DAC=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

Z równoległości podstaw ($DC\parallel AB$) kąty naprzemianległe są równe: $\angle DCA=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

W trójkącie $ACD$ mamy $\angle DAC=\angle DCA=\dfrac{\alpha}{2}$, więc jest on równoramienny i $|CD|=|AD|$ (ramię trapezu). W trapezie równoramiennym $|AD|=|BC|$, zatem $|CD|=|AD|=|BC|$.

Niech $|CD|=a$; wtedy $|AB|=2a$ oraz ramię $|AD|=a$. Rzut ramienia $AD$ na podstawę $AB$ wynosi $\dfrac{|AB|-|CD|}{2}=\dfrac{2a-a}{2}=\dfrac{a}{2}$.

Zatem $\cos\alpha=\dfrac{a/2}{a}=\dfrac{1}{2}$, skąd $\alpha=60^{\circ}$. $\square$