Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$.Przyjmij, że wzór funkcji można przedstawić w postaci $f(x)=x^{4}+x^{2}-6x$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pochodna.
$$f'(x)=4x^{3}+2x-6.$$
Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej.
$4x^{3}+2x-6=0\ \Rightarrow\ 2x^{3}+x-3=0$. Zauważmy, że $x=1$ jest pierwiastkiem ($2+1-3=0$). Dzielimy:
$$2x^{3}+x-3=(x-1)(2x^{2}+2x+3).$$
Trójmian $2x^{2}+2x+3$ ma $\Delta=4-24<0$, więc nie ma innych pierwiastków rzeczywistych. W dziedzinie $x>0$ jedynym miejscem zerowym pochodnej jest $x=1$.
Krok 3. Badanie znaku pochodnej.
Dla $01$ — $f'(x)>0$ (np. $f'(2)=32+4-6>0$). Funkcja maleje, a potem rośnie, więc w $x=1$ jest minimum lokalne, a zarazem najmniejsza wartość na $(0,\infty)$.
Krok 4. Wartość najmniejsza.
$$f(1)=1^{4}+1^{2}-6\cdot 1=1+1-6=-4.$$
Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji wynosi $-4$ (dla $x=1$).
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.