Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90^{\circ}$ oraz $|\angle CAB|=60^{\circ}$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach — odpowiednio — $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$. Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta (opuszczoną z $B$ na przeciwprostokątną $AC$) w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$. Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Układ współrzędnych.
Kąt prosty jest przy $B$, więc przyjmijmy $B=(0,0)$, $A=(0,a)$ na osi $OY$ oraz $C=(c,0)$ na osi $OX$. Z $|\angle CAB|=60^{\circ}$ wynika, że kąt przy $C$ ma $30^{\circ}$, a $\tan 60^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}$, więc $c=a\sqrt{3}$.
Krok 2. Wyznaczenie $a$ z warunku $|AD|=2$.
W trójkącie prostokątnym rzut przyprostokątnej $AB$ na przeciwprostokątną spełnia $|AD|=\dfrac{|AB|^{2}}{|AC|}$. Ponieważ $|AC|=\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$, mamy
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.