Rozwiązanie zadania — pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
-
Krok 1: Ustalenie oznaczeń i warunków zadania
Prostopadłościan $ABCDEFGH$ ma trzy pary krawędzi o długościach $a$, $b$, $c$.
Przyjmijmy, że z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie:
- krawędź $AB$ o długości $x$,
- krawędź $BC$ o długości $4$,
- krawędź $BF$ o długości $h$ (wysokość prostopadłościanu).
Warunek zadania: suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ wynosi $15$, zatem:
$$x + 4 + h = 15$$
Stąd:
$$h = 11 - x$$
-
Krok 2: Dziedzina funkcji $P$
Każda krawędź prostopadłościanu musi mieć dodatnią długość, więc:
$$x > 0 \qquad \text{oraz} \qquad h = 11 - x > 0$$
Z drugiego warunku: $x \lt 11$.
Zatem dziedzina funkcji $P$ to:
$$\boxed{x \in (0,\, 11)}$$
-
Krok 3: Wzór na pole powierzchni całkowitej
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $4$, $h = 11-x$ wynosi:
$$P = 2(x \cdot 4 + 4 \cdot h + x \cdot h)$$
Podstawiamy $h = 11 - x$:
$$P(x) = 2\bigl(4x + 4(11-x) + x(11-x)\bigr)$$
$$P(x) = 2\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\bigr)$$
$$P(x) = 2\bigl(44 + 11x - x^2\bigr)$$
$$\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)}$$
-
Krok 4: Wyznaczenie maksimum funkcji $P(x)$
Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny), więc posiada maksimum globalne w wierzchołku.
Współrzędna $x$ wierzchołka paraboli $ax^2 + bx + c$ wynosi $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Tutaj $a = -2$, $b = 22$:
$$x_0 = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = -\frac{22}{-4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5{,}5$$
Sprawdzamy, czy $x_0 = 5{,}5$ należy do dziedziny: $0 \lt 5{,}5 \lt 11$ — tak.
-
Krok 5: Weryfikacja — wartość maksymalnego pola
$$P\!\left(\tfrac{11}{2}\right) = -2\cdot\left(\tfrac{11}{2}\right)^2 + 22\cdot\tfrac{11}{2} + 88 = -2\cdot\frac{121}{4} + 121 + 88$$
$$= -\frac{121}{2} + 209 = -60{,}5 + 209 = 148{,}5$$
Pole powierzchni całkowitej największego z rozważanych prostopadłościanów wynosi $148{,}5$.
Odpowiedź końcowa:
Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej:
$$P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11)$$
Pole powierzchni całkowitej jest największe dla prostopadłościanu, w którym krawędź $AB$ ma długość:
$$\boxed{x = \frac{11}{2} = 5{,}5}$$
