Rozwiązanie
Funkcja liniowa $f(x) = (3-m)x - 4$ nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy nie jest funkcją liniową (w ścisłym sensie), czyli gdy współczynnik kierunkowy wynosi zero — wówczas staje się funkcją stałą i nie przecina osi $OX$.
-
Krok 1 – Warunek istnienia miejsca zerowego funkcji liniowej
Funkcja postaci $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy $a \neq 0$. Jeśli $a = 0$, to $f(x) = b = \text{const}$, a równanie $f(x) = 0$ ma rozwiązanie tylko gdy $b = 0$. W naszym przypadku $b = -4 \neq 0$, więc dla $a = 0$ funkcja nie ma miejsca zerowego.
-
Krok 2 – Wyznaczenie wartości $m$, dla której współczynnik kierunkowy jest równy zero
Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ wynosi $(3 - m)$. Przyrównujemy go do zera:
$$3 - m = 0$$
$$m = 3$$
-
Krok 3 – Sprawdzenie
Dla $m = 3$:
$$f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \cdot x - 4 = -4$$
Funkcja stała $f(x) = -4$ przyjmuje wartość $-4$ dla każdego $x$, więc równanie $f(x) = 0$ jest sprzeczne — brak miejsca zerowego. ✓
-
Krok 4 – Analiza pozostałych odpowiedzi
-
Odpowiedź A) $m = -3$:
$f(x) = (3-(-3))x - 4 = 6x - 4$. Współczynnik $a = 6 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.
-
Odpowiedź B) $m = 0$:
$f(x) = (3-0)x - 4 = 3x - 4$. Współczynnik $a = 3 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.
-
Odpowiedź C) $m = 3$:
$f(x) = -4$ — funkcja stała różna od zera, brak miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna. ✓
-
Odpowiedź D) $m = 4$:
$f(x) = (3-4)x - 4 = -x - 4$. Współczynnik $a = -1 \neq 0$, więc funkcja ma miejsce zerowe: $x = -4$. Odpowiedź błędna.
Odpowiedź: C) $m = 3$
Dla $m = 3$ współczynnik kierunkowy wynosi zero, funkcja przyjmuje postać $f(x) = -4$ i nie posiada miejsca zerowego.
