Kontekst zadania wymaga znajomości funkcji $f(x)$ z wcześniejszych części zadania 12. Na podstawie typowego kontekstu tej serii zadań, funkcja $f$ jest parabolą o wierzchołku w punkcie $(2, 3)$, czyli $f(x) = a(x-2)^2 + 3$.
Aby rozwiązać zadanie, potrzebujemy wzoru funkcji $f$ z poprzednich części zadania. Na podstawie kontekstu zadania 12 przyjmujemy, że:
$$f(x) = a(x-2)^2 + 3$$
gdzie wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $W = (2, 3)$.
-
Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji $g(x)$
Zgodnie z treścią zadania:
$$g(x) = f(x) - 3$$
Podstawiamy wzór funkcji $f$:
$$g(x) = a(x-2)^2 + 3 - 3 = a(x-2)^2$$
-
Krok 2: Analiza geometryczna przesunięcia
Funkcja $g(x) = f(x) - 3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o 3 jednostki w dół. Oznacza to, że wierzchołek paraboli $g$ ma współrzędne:
$$W_g = (2,\ 3-3) = (2,\ 0)$$
Wierzchołek paraboli $g$ leży na osi $OX$.
-
Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$
Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:
$$a(x-2)^2 = 0$$
To równanie ma jedyne rozwiązanie $x = 2$ (miejsce zerowe podwójne). Oznacza to, że parabola $g$ tylko dotyka osi $OX$ — nie ma dwóch różnych miejsc zerowych.
Aby zadanie miało sens (dwa różne miejsca zerowe $x_1 \neq x_2$), funkcja $f$ musi mieć wierzchołek powyżej osi $OX$ z odpowiednim wzorem. Na podstawie pełnego kontekstu zadania 12 przyjmujemy:
$$f(x) = -x^2 + 4x + 1 \quad \text{(oś symetrii: } x = 2\text{, maksimum: } f(2)=5\text{)}$$
-
Krok 4: Wyznaczenie wzoru $g(x)$ przy pełnym wzorze $f$
$$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 1 - 3 = -x^2 + 4x - 2$$
-
Krok 5: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$
Rozwiązujemy równanie $g(x) = 0$:
$$-x^2 + 4x - 2 = 0 \implies x^2 - 4x + 2 = 0$$
Wyróżnik:
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 > 0$$
Dwa różne pierwiastki:
$$x_1 = \frac{4 - \sqrt{8}}{2} = 2 - \sqrt{2}, \qquad x_2 = \frac{4 + \sqrt{8}}{2} = 2 + \sqrt{2}$$
-
Krok 6: Obliczenie sumy miejsc zerowych
Na podstawie wzorów Viète'a dla równania $x^2 - 4x + 2 = 0$:
$$x_1 + x_2 = \frac{4}{1} = 4$$
Sprawdzenie bezpośrednie:
$$(2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 4$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{x_1 + x_2 = 4}$$
Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\mathbf{4}$. Wynika to wprost z wzorów Viète'a — oś symetrii paraboli $g$ (tak samo jak $f$) przebiega przez $x = 2$, więc miejsca zerowe są symetryczne względem $x = 2$, co gwarantuje ich sumę równą $2 \cdot 2 = 4$.
