Rozwiązanie
Upraszczamy wyrażenie:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x}$$
-
Krok 1 – Rozkładamy składniki na czynniki.
Licznik pierwszego ułamka:
$$x^2 + x = x(x+1)$$
Mianownik pierwszego ułamka (kwadrat sumy):
$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$
Po podstawieniu wyrażenie przyjmuje postać:
$$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
-
Krok 2 – Skracamy wyrażenie.
Mnożymy liczniki i mianowniki przez siebie:
$$\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^2 \cdot x}$$
Skracamy $x$ (możliwe, bo $x \neq 0$) oraz jeden czynnik $(x+2)$ (możliwe, bo $x \neq -2$):
$$\frac{\cancel{x}(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}} = \frac{x+1}{x+2}$$
-
Krok 3 – Weryfikacja wyniku.
Sprawdzamy dla przykładowej wartości, np. $x = 1$:
- Wyrażenie wyjściowe: $\dfrac{1+1}{1+4+4} \cdot \dfrac{1+2}{1} = \dfrac{2}{9} \cdot 3 = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
- Wynik uproszczony: $\dfrac{1+1}{1+2} = \dfrac{2}{3}$ ✓
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{3}{8}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. Odpowiedź ta mogłaby powstać przez nieprawidłowe rozkładanie lub błędne skracanie wyrażeń.
- Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{9}$, co różni się od $\dfrac{2}{3}$. W mianowniku pojawia się wyrażenie $4x+5$, które nie ma żadnego uzasadnienia algebraicznego w tym zadaniu.
- Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ – poprawna. Otrzymujemy ją przez rozkład $x^2+x = x(x+1)$, rozkład $x^2+4x+4=(x+2)^2$ oraz skrócenie czynników $x$ i $(x+2)$. Wynik jest zgodny z weryfikacją.
- Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ – błędna. Dla $x=1$ daje $\dfrac{2}{3}$, co przypadkowo zgadza się z wynikiem dla $x=1$, lecz dla $x=2$ wyrażenie wyjściowe daje $\dfrac{3}{4}$, a odpowiedź D daje $\dfrac{4}{4}=1 \neq \dfrac{3}{4}$. Odpowiedź ta nie jest algebraicznie równoważna wyrażeniu wyjściowemu.
Wynik końcowy
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$
Odpowiedź: C
