Zadanie: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.
-
Krok 1: Zapisanie liczby nieparzystej w ogólnej postaci.
Każda nieparzysta liczba naturalna $n$ może być zapisana w postaci:
$$n = 2k - 1$$
gdzie $k \in \mathbb{N}$ (czyli $k = 1, 2, 3, \ldots$).
-
Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.
Podstawiamy $n = 2k - 1$:
$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k-1)^2 + 2(2k-1) + 7$$
-
Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.
Obliczamy kolejno każdy składnik:
$$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$$
$$3(2k-1)^2 = 3(4k^2 - 4k + 1) = 12k^2 - 12k + 3$$
$$2(2k-1) = 4k - 2$$
Sumujemy wszystkie składniki:
$$3n^2 + 2n + 7 = (12k^2 - 12k + 3) + (4k - 2) + 7$$
$$= 12k^2 - 12k + 4k + 3 - 2 + 7$$
$$= 12k^2 - 8k + 8$$
-
Krok 4: Wyłączenie czynnika $4$ przed nawias.
Wyłączamy $4$ jako wspólny czynnik:
$$12k^2 - 8k + 8 = 4(3k^2 - 2k + 2)$$
-
Krok 5: Sformułowanie wniosku.
Ponieważ $k \in \mathbb{N}$, wyrażenie $3k^2 - 2k + 2$ jest liczbą całkowitą. Zatem:
$$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 - 2k + 2)$$
co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby całkowitej.
Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ zachodzi:
$$\boxed{3n^2 + 2n + 7 = 4(3k^2 - 2k + 2)}$$
co dowodzi, że wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$
