Rozwiązanie
Obliczamy wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$, rozwijając każdy kwadrat osobno.
-
Krok 1: Rozwinięcie $(3x+2)^2$
Korzystamy ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gdzie $a = 3x$, $b = 2$:
$$(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2\cdot(3x)\cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$
-
Krok 2: Rozwinięcie $(2x-3)^2$
Korzystamy ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = 2x$, $b = 3$:
$$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2\cdot(2x)\cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$
-
Krok 3: Obliczenie różnicy
Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego (pamiętając o zmianie znaków):
$$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$
$$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$
$$= (9x^2 - 4x^2) + (12x + 12x) + (4 - 9)$$
$$= 5x^2 + 24x - 5$$
Analiza odpowiedzi
Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$. Błąd powstałby, gdyby pominięto składniki liniowe przy rozwijaniu kwadratów.
Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje wyrazu $24x$, a wyraz wolny jest niepoprawny ($+13$ zamiast $-5$). Błąd wynikałby z nieprawidłowego obliczenia $4 - 9 = 13$ oraz pominięcia wyrazów z $x$.
Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Wyraz kwadratowy $5x^2$, wyraz liniowy $24x$ oraz wyraz wolny $-5$ są zgodne z obliczeniami.
Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Wyraz kwadratowy i liniowy są poprawne, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd powstałby, gdyby niepoprawnie obliczono $4 - 9 = -13$ (zamiast zsumować $+4$ i $-9$ po rozwinięciu, odjęto $4+9=13$).
Wynik końcowy:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2 = 5x^2+24x-5$$
Odpowiedź: C
