Rozwiązanie zadania 11
Dana funkcja: $f(x) = (2-m)x^2 - 2(2m+1)x + m + 8$, gdzie $m \in \mathbb{R}$, $m \neq 2$.
Ponieważ $m \neq 2$, funkcja $f$ jest parabolą (funkcją kwadratową).
-
Krok 1: Warunek istnienia dokładnie dwóch miejsc zerowych — wyróżnik musi być dodatni
Wyróżnik trójmianu kwadratowego:
$$\Delta = [-2(2m+1)]^2 - 4(2-m)(m+8)$$
$$\Delta = 4(2m+1)^2 - 4(2-m)(m+8)$$
$$\Delta = 4\bigl[(2m+1)^2 - (2-m)(m+8)\bigr]$$
Obliczamy każdy nawias:
$$(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$$
$$(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16$$
Zatem:
$$\Delta = 4\bigl[4m^2 + 4m + 1 - (-m^2 - 6m + 16)\bigr] = 4\bigl[5m^2 + 10m - 15\bigr] = 20(m^2 + 2m - 3)$$
$$\Delta = 20(m+3)(m-1)$$
Warunek $\Delta > 0$:
$$(m+3)(m-1) > 0 \implies m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$$
-
Krok 2: Warunek, że oba miejsca zerowe mają ten sam znak
Z wzorów Viète'a dla $ax^2+bx+c=0$ mamy $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ oraz $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
Tutaj $a = 2-m$, $b = -2(2m+1)$, $c = m+8$:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{m+8}{2-m}, \qquad x_1 + x_2 = \frac{2(2m+1)}{2-m}$$
Oba pierwiastki mają ten sam znak wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni:
$$\frac{m+8}{2-m} > 0$$
Liczymy znak ilorazu metodą tablicy znaków (miejsca zerowe: $m = -8$ i $m = 2$):
- $m \in (-\infty, -8)$: licznik $-$, mianownik $+$ → iloraz $-$ ✗
- $m \in (-8, 2)$: licznik $+$, mianownik $+$ → iloraz $+$ ✓
- $m \in (2, +\infty)$: licznik $+$, mianownik $-$ → iloraz $-$ ✗
Warunek spełniony dla $m \in (-8, 2)$.
Połączenie z warunkiem z Kroku 1:
$$m \in (-\infty,-3)\cup(1,+\infty) \quad \text{oraz} \quad m \in (-8,2)$$
$$\implies m \in (-8,-3) \cup (1,2)$$
-
Krok 3: Warunek $(x_1 - x_2)^2 \leq 180$
Korzystamy z tożsamości:
$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{\Delta}{a^2}$$
Mamy $\Delta = 20(m+3)(m-1)$ oraz $a^2 = (2-m)^2$, więc:
$$(x_1 - x_2)^2 = \frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2}$$
Warunek do spełnienia:
$$\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2} \leq 180$$
Ponieważ $(2-m)^2 > 0$ (bo $m\neq 2$), mnożymy obustronnie:
$$20(m+3)(m-1) \leq 180(2-m)^2$$
$$(m+3)(m-1) \leq 9(2-m)^2$$
$$m^2 + 2m - 3 \leq 9(4 - 4m + m^2)$$
$$m^2 + 2m - 3 \leq 36 - 36m + 9m^2$$
$$0 \leq 8m^2 - 38m + 39$$
Wyróżnik: $\Delta_2 = 38^2 - 4\cdot8\cdot39 = 1444 - 1248 = 196$, $\sqrt{\Delta_2}=14$
$$m_{1,2} = \frac{38 \pm 14}{16} \implies m_1 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, \quad m_2 = \frac{52}{16} = \frac{13}{4}$$
Zatem $8m^2 - 38m + 39 \geq 0$ dla $m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$.
-
Krok 4: Połączenie wszystkich warunków
Szukamy $m$ należących do $(-8,-3)\cup(1,2)$, które jednocześnie spełniają $m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$:
- Dla $m \in (-8,-3)$: wszystkie te $m$ spełniają $m \leq \frac{3}{2}$ ✓ → cały przedział $(-8,-3)$ pozostaje.
- Dla $m \in (1,2)$: warunek $m \leq \frac{3}{2}$ daje $m \in (1, \tfrac{3}{2}]$; warunek $m \geq \frac{13}{4}$ — niespełniony w $(1,2)$. Zatem zostaje $m \in (1, \tfrac{3}{2}]$.
Wynik końcowy
Wszystkie wartości parametru $m$ spełniające podane warunki to:
$$\boxed{m \in (-8,\,-3)\cup\!\left(1,\,\frac{3}{2}\right]}$$