Rozwiązanie zadania — miara kąta DAC w trójkącie równobocznym ABC.
-
Krok 1: Oznaczenia i dane wyjściowe
Niech $ABC$ będzie trójkątem równobocznym o boku długości $a$. Punkt $D$ leży na boku $BC$. Oznaczmy $BD = x$, skąd $DC = a - x$.
-
Krok 2: Wyrażenie pól trójkątów ABD i ADC przez wysokość
Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ na prostą $BC$. Oznaczmy tę wysokość $h$. Ponieważ $ABC$ jest trójkątem równobocznym:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Pola trójkątów wynoszą:
$$P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{xa\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (a-x) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{(a-x)a\sqrt{3}}{4}$$
-
Krok 3: Wykorzystanie danego stosunku pól
Z warunków zadania:
$$\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
$$\frac{\dfrac{xa\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{(a-x)a\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
$$\frac{x}{a-x} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$
Rozwiązujemy równanie:
$$2x = (\sqrt{3}-1)(a-x)$$
$$2x = a\sqrt{3} - a - x\sqrt{3} + x$$
$$2x - x + x\sqrt{3} = a\sqrt{3} - a$$
$$x(1 + \sqrt{3}) = a(\sqrt{3} - 1)$$
$$x = \frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}$$
Racjonalizujemy mianownik:
$$x = \frac{a(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{a(\sqrt{3}-1)^2}{2} = \frac{a(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{a(4-2\sqrt{3})}{2} = a(2-\sqrt{3})$$
Zatem $BD = a(2-\sqrt{3})$ oraz $DC = a - a(2-\sqrt{3}) = a(\sqrt{3}-1)$.
-
Krok 4: Obliczenie kąta DAC
Obliczamy kąt $\angle DAC$ w trójkącie $ADC$. Znamy:
— bok $AC = a$,
— bok $DC = a(\sqrt{3}-1)$,
— kąt $\angle ACD = 60°$ (kąt trójkąta równobocznego przy wierzchołku $C$).
W trójkącie $ADC$ korzystamy z funkcji tangens kąta $\angle DAC$. Stosujemy wzór na pole trójkąta przez dwa boki i kąt między nimi:
Wygodniej użyć wprost funkcji trygonometrycznych w trójkącie $ADC$.
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie $ADC$:
$$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$$
Kąty trójkąta $ADC$: $\angle ACD = 60°$, $\angle DAC = \alpha$ (szukany), $\angle ADC = 120° - \alpha$ (bo suma kątów $= 180°$).
$$\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(120°-\alpha)}$$
$$\sin(120°-\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{3}-1}$$
Rozwijamy $\sin(120°-\alpha)$:
$$\sin 120° \cos\alpha - \cos 120° \sin\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{3}-1}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{3}-1}$$
Dzielimy obie strony przez $\cos\alpha$ (zakładając $\cos\alpha \neq 0$), podstawiamy $t = \tan\alpha$:
$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{t}{2} = \frac{t}{\sqrt{3}-1}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2} = t\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{2}\right) = t \cdot \frac{2 - (\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = t \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2} = t \cdot \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2(\sqrt{3}-1)} = t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$t = 1$$
$$\tan\alpha = 1 \implies \alpha = 45°$$
-
Krok 5: Weryfikacja
Przy $\angle DAC = 45°$ kąty w trójkącie $ADC$ wynoszą: $45° + 60° + 75° = 180°$ ✓
Sprawdzamy stosunek $\frac{BD}{DC}$: $\frac{a(2-\sqrt{3})}{a(\sqrt{3}-1)} = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ ✓
Wynik końcowy:
$$\boxed{\angle DAC = 45°}$$