📄 Treść zadania
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(1\). Pole tego trójkąta jest równe:
A
\(\sqrt{3}\)
B
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
C
\(\frac{4}{3}\)
D
\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Długość boku obliczymy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$1=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$2=a\sqrt{3}$$
$$a=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Teoretycznie moglibyśmy usunąć jeszcze niewymierność z mianownika, ale w tym przypadku jesteśmy w trakcie dalszych obliczeń, więc nie ma takiej konieczności.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Tym razem skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{\frac{4}{3}\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{4}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{1}{4}$$
$$P=\frac{\sqrt{3}}{3}$$