Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyznaczenie odległości od wierzchołka A do środka przekątnych S
Punkt $S = (1, 3)$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, czyli jego środkiem symetrii.
Oznacza to, że $S$ jest środkiem każdej z przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem odcinka $AC$.
Obliczamy odległość $|AS|$:
$$|AS| = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
-
Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej AC
Ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, odcinek $AS$ stanowi połowę przekątnej $AC$. Zatem:
$$|AC| = 2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$$
-
Krok 3: Weryfikacja i wniosek
Obie przekątne kwadratu mają jednakową długość, więc przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość $10$.
Analiza odpowiedzi
-
Odpowiedź A) $5$ — BŁĘDNA:
Wartość $5$ to jedynie długość połowy przekątnej (odcinek $AS$), a nie całej przekątnej. Uczeń popełniający ten błąd zapomina, że $S$ jest środkiem przekątnej, nie jej końcem.
-
Odpowiedź B) $7$ — BŁĘDNA:
Wartość $7$ nie wynika z żadnych poprawnych obliczeń związanych z podanymi punktami. Mogłaby być wynikiem błędnego dodania współrzędnych lub innej niepoprawnej operacji.
-
Odpowiedź C) $10$ — POPRAWNA:
$|AS| = 5$, a przekątna $|AC| = 2 \cdot |AS| = 10$. Obliczenie jest bezpośrednią konsekwencją własności środka przekątnej kwadratu.
-
Odpowiedź D) $14$ — BŁĘDNA:
Wartość $14 = 2 \cdot 7$ nie ma uzasadnienia w poprawnych obliczeniach. Może być wynikiem błędnego wyznaczenia odległości $|AS|$ (np. przez dodanie zamiast pierwiastkowania sum kwadratów: $3 + 4 = 7$) i następnie jej podwojenia.
Wynik końcowy
Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość $\mathbf{10}$.
Odpowiedź: C)
