Rozwiązanie
Dane proste:
$$k:\; y=(m-2)x+5$$
$$l:\; y=-4x+(m+3)$$
Proste są w postaci kierunkowej $y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy.
-
Krok 1 – Wyznaczenie współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy prostej $k$:
$$a_k = m - 2$$
Współczynnik kierunkowy prostej $l$:
$$a_l = -4$$
-
Krok 2 – Warunek równoległości prostych.
Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe oraz różne wyrazy wolne (są różnymi prostymi). Warunek równości współczynników kierunkowych:
$$a_k = a_l$$
$$m - 2 = -4$$
$$m = -4 + 2$$
$$m = -2$$
-
Krok 3 – Sprawdzenie, czy proste nie są tożsame (weryfikacja wyrazów wolnych).
Dla $m = -2$ wyraz wolny prostej $k$ wynosi $5$, a wyraz wolny prostej $l$ wynosi:
$$m + 3 = -2 + 3 = 1$$
Ponieważ $5 \neq 1$, proste mają różne wyrazy wolne, a zatem są różnymi prostymi — warunek równoległości jest spełniony.
-
Krok 4 – Analiza pozostałych odpowiedzi.
Odpowiedź A) $m = -4$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $(-4) - 2 = -6 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.
Odpowiedź B) $m = -2$: Jak wykazano w Kroku 2 i 3 — proste mają równe współczynniki kierunkowe ($-4$) i różne wyrazy wolne ($5 \neq 1$). To jest poprawna odpowiedź.
Odpowiedź C) $m = 2$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $2 - 2 = 0 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.
Odpowiedź D) $m = 5$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $5 - 2 = 3 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.
Wynik końcowy:
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy $m = -2$.
$$\boxed{m = -2}$$
Poprawna odpowiedź: B
