Rozwiązujemy zadanie, analizując trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$.
Stwierdzenie 1: Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.
-
Krok 1 – Obliczenie boku $AC$ z twierdzenia cosinusów.
Bok $AC$ jest bokiem leżącym naprzeciwko kąta $\angle ABC = 60°$. Stosujemy twierdzenie cosinusów:
$$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$
$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$
$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$
$$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$
$$|AC| = \sqrt{133}$$
-
Krok 2 – Porównanie długości boków.
Mamy trzy boki:
- $|AB| = 11$
- $|BC| = 12$
- $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$
Sprawdzamy, czy jakiekolwiek dwa boki są równe:
- $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
- $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $11^2 = 121 \neq 133$)
- $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $12^2 = 144 \neq 133$)
Żadne dwa boki nie są równe, więc trójkąt nie jest równoramienny.
Odpowiedź: F (fałsz)
Stwierdzenie 2: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.
-
Krok 1 – Zastosowanie wzoru na pole trójkąta.
Znamy dwa boki trójkąta ($|AB|$ i $|BC|$) oraz zawarty między nimi kąt $\angle ABC = 60°$. Korzystamy ze wzoru:
$$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$
-
Krok 2 – Podstawienie wartości.
$$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S = 66 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S = 33\sqrt{3}$$
-
Krok 3 – Weryfikacja wyniku.
Obliczona wartość pola wynosi dokładnie $33\sqrt{3}$, co zgadza się ze stwierdzeniem.
Odpowiedź: P (prawda)
Podsumowanie odpowiedzi:
- Trójkąt $ABC$ jest równoramienny — F
- Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ — P
