Zadanie 6 Matura z matematyki 2025 — podstawowy, arkusz dla klas dwujęzycznych

Rozwiązanie

1. Krok 1: Uprość lewą stronę nierówności

   Rozwiń nawias na lewej stronie:

   $$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$ $$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$ $$1 + 4x \geq 2x - 17$$
2. Krok 2: Przenieś wyrazy z $x$ na lewą stronę

   Odejmij $2x$ od obu stron:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$
3. Krok 3: Przenieś wyrazy wolne na prawą stronę

   Odejmij $1$ od obu stron:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$
4. Krok 4: Wyznacz $x$

   Podziel obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc kierunek nierówności się nie zmienia):

   $$x \geq -9$$
5. Krok 5: Zapisz zbiór rozwiązań

   Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest:

   $$x \in [-9, +\infty)$$

Analiza odpowiedzi

• A) $(-\infty, 3]$ — Błędna. Przedział skierowany w złą stronę i z błędną wartością graniczną $3$. Powstałby np. wskutek błędu w przeniesieniu wyrazów i odwrócenia znaku nierówności.
• B) $[3, +\infty)$ — Błędna. Kierunek przedziału jest właściwy, ale wartość graniczna $3$ jest niepoprawna. Błąd mógł powstać np. przy nieprawidłowym uproszczeniu lewej strony (np. pominięciu rozwinięcia nawiasu).
• C) $(-\infty, -9]$ — Błędna. Wartość graniczna $-9$ jest poprawna, ale kierunek nierówności jest odwrócony. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe podzielenie przez liczbę ujemną lub błędne przeniesienie wyrazów.
• D) $[-9, +\infty)$ — Poprawna. Wyznaczone rozwiązanie $x \geq -9$ odpowiada dokładnie temu przedziałowi: zaczyna się od $-9$ (domknięty, gdyż nierówność jest nieostra $\geq$) i obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste większe od $-9$.

Wynik końcowy

Odpowiedź: D

Zbiór rozwiązań nierówności to $\boxed{[-9, +\infty)}$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe $-9$.